TransformationMatrix变换矩阵
用数学描述世界
奇妙数学世界
二维平移
$$
\begin{cases}
x’ = x + t_x \\
y’ = y + t_y \\
\end{cases}
$$
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
二维缩放
$$
\begin{cases}
x’ = x \cdot s_x \\
y’ = y \cdot s_y \\
\end{cases}
$$
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
二维旋转
绕原点旋转
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\
sin\theta & cos\theta \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
\end {bmatrix}
$$
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
绕任意点旋转
- 将旋转点移动到原点处
- 执行绕原点的旋转
- 再将旋转点移回原来的位置
$$
\begin{align}
M & =
\begin {bmatrix}
1 & 0 & tx \\
0 & 1 & ty \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
1 & 0 & -tx \\
0 & 1 & -ty \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix} \\
& =
\begin {bmatrix}
cos\theta & -sin\theta & (1-cos\theta) \cdot tx + ty \cdot sin\theta \\
sin\theta & cos\theta & (1-cos\theta) \cdot ty - tx \cdot sin\theta \\
0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\end{align}
$$
二维复合变换
变换顺序：缩放 -> 旋转 -> 平移。
- 缩放不改变原点和轴向；
- 旋转不改变原点，但改变轴向；
- 平移不改变轴向，但改变原点。
缩放不能再旋转之后，且缩放和旋转不能在平移之后。
https://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/50561857
三维旋转
绕 x 轴的旋转
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
z’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\
0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
绕 y 轴的旋转
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
z’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
绕 z 轴的旋转
$$
\begin {bmatrix}
x’ \\
y’ \\
z’ \\
1 \\
\end {bmatrix}
=
\begin {bmatrix}
cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\
sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end {bmatrix}
\cdot
\begin {bmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end {bmatrix}
$$
Mathjax 矩阵语法
$$
\begin {matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end {matrix}
$$
$$
\begin {bmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end {bmatrix}
$$
$$
\begin {Bmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end {Bmatrix}
$$
$$
\begin {vmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end {vmatrix}
$$
$$
\begin {Vmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end {Vmatrix}
$$
$$
\begin {bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\
1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\
\vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n
\end {bmatrix}
$$
$$
\left [
\begin {array} {cc|c}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end {array}
\right ]
$$
行内小矩阵测试： $\bigl( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ $\bigl[ \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr]$ $\bigl\{ \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \bigr\}$